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【数据结构】并查集

发表于 更新于 分类于 ，
本文字数： 4.2k 阅读时长 ≈ 8 分钟
介绍了并查集的原理与用法，适用于合并两个同类集合，并查找某个元素属于哪个集合

并查集

概念

不相交集合：若有n个元素，其中的每个元素如果只属于某个集合，则可以把他们划为不想交集合

问题描述：将编号分别为1-n的n个对象划分为不相交集合，在每个集合中，选择其中某个元素代表所在集合

解决的问题：

  • 合并两个集合
  • 查找某个元素属于哪个集合

定义一个数组set，set[i]代表i所在的集合

我们用每个集合编号最小的元素标记所在集合

实现1

如set: 1 2 1 4 2 6 1 6 2 2

他的不相交集合为{1,3,7}, {4}, {2,5,9,10}, {6,8}

效率

查：只需要返回下标对应元素，因为此时对应的就是集合中的最小元素，\(O(1)\)

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find1(x){
    return set[x];
}

并：合并两个集合后，要找出一个更小的作为代表元素，合并时要遍历set中所有元素，把还是原来元素的改成新的更小元素，\(O(n)\)

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merge1(a,b){
    i = min(a,b);
    j = max(a,b);
    for (int k=1;k<=n;k++){
        if (set[k]==j) set[k]==i;
    }
}

实现2

每个集合用一颗有根树表示

定义一个数组set

  • 若set[i]=i, 则i为该树的根节点，i代表本集合
  • 若set[i]=j, 若j\(\neq\)i, 则j是i的父节点

效率

查：如果集合对应的不是自己，则自己上面有父节点，将父节点存下来继续查找直到查到根节点，最坏\(O(n)\)，一般\(O(\log n)\)

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find2(x){
    r = x;
    while(set[r]!=r){
        r = set[r];
    }
    return r;
}

并：只需要将根节点改为另一个集合的根节点即可，\(O(1)\)

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merge2(a,b){
    set[a]=b;
}

改进

如何避免最坏情况？

方法：将深度小的树合并到深度大的树，合并后深度不会变化

效果：合并后，包含k个节点的树最大高度不超过\(\lfloor \lg k \rfloor\)

代码： 在合并时记录每棵树的高度，谁的高度大谁是新的根节点

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merge3(a,b){
    if (height(a)==height(b)){
        height(a)=height(a)+1;
        set[b]=a;
    }
    else if (height(a)<height(b)) set[a]=b;
    else set[b]=a;
}

此时查找操作的时间复杂度变成了\(O(\log n)\)

路径压缩

问题：若一棵树的高度很大，查找路径很长，查找量很大的时候，很容易tle

思想：查找时如果路径较长，则修改信息，让下次查找的时候速度更快

方案：

  • 找到根节点
  • 修改查找路径上的所有节点，将它们都指向根节点

image-20241213095455535

代码

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find3(x){
    if (set[x]!=x) set[x]=find3(set[x]); //当不是根节点时，调用find3找到其父节点的父节点，并赋给他的父节点，此时x的父节点改为他的父节点的父节点，直到指到他的根节点
    return set[x];
}

模板

题目描述

如题，现在有一个并查集，你需要完成合并和查询操作。

输入格式

第一行包含两个整数 \(N,M\) ,表示共有 \(N\) 个元素和 \(M\) 个操作。

接下来 \(M\) 行，每行包含三个整数 \(Z_i,X_i,Y_i\) 。

当 \(Z_i=1\) 时，将 \(X_i\) 与 \(Y_i\) 所在的集合合并。

当 \(Z_i=2\) 时，输出 \(X_i\) 与 \(Y_i\) 是否在同一集合内，是的输出 Y ；否则输出 N 。

输出格式

对于每一个 \(Z_i=2\) 的操作，都有一行输出，每行包含一个大写字母，为 Y 或者 N 。

样例 #1

样例输入 #1

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1 1 2
2 1 2
1 3 4
2 1 4
1 2 3
2 1 4

样例输出 #1

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3
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N
Y
N
Y

提示

对于 \(30\%\) 的数据，\(N \le 10\)，\(M \le 20\)。

对于 \(70\%\) 的数据，\(N \le 100\)，\(M \le 10^3\)。

对于 \(100\%\) 的数据，\(1\le N \le 10^4\)，\(1\le M \le 2\times 10^5\)，\(1 \le X_i, Y_i \le N\)，\(Z_i \in \{ 1, 2 \}\)。

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6+10;
template<typename T>
class DSU{
public:
  DSU(T n){
    this->n = n;
    disj.resize(n+1);
    cnt.resize(n+1);
    iota(disj.begin()+1, disj.end(), (T)1);
    fill(cnt.begin()+1, cnt.end(), (T)1);
  }
  // 查找操作，使用路径压缩
  T find(T x){
    if(disj[x]!=x) disj[x]=find(disj[x]);
    return disj[x];
  } 
  // 合并操作，寻找两者最小根节点并将大的修改成小的
  void merge(T a,T b){
    T ra = find(a);
    T rb = find(b);
    if(cnt[rb]<cnt[ra]) swap(ra,rb);
    if(ra!=rb){
      disj[ra] = rb;
      cnt[rb]+=cnt[ra];
    }
  }
  // 找集合个数（并查集找根）
  T fcnt(){
    vector<bool> vis(n+1, false);
    T ans = 0;
    
    for (int i = 0;i<=n;i++){
      if (!vis[find(i)]){
        vis[find(i)]=1;
        ans++;
      }
    }
    return ans;
  }
private:
  vector<T> disj;
  vector<T> cnt;
  vector<bool> vis;
  T n;
};


int n, m;
int main(){
  cin >> n >>m;
  DSU<int> dsu(n);
  while(m--){
    int z, x, y;
    cin>>z>>x>>y;
    // 进行合并
    if (z==1){
      dsu.merge(x,y);
    }
    else {
      // 如果两者的根节点相同，则属于同一集合
      if(dsu.find(x)==dsu.find(y)) cout << "Y"<<endl;
      else cout << "N"<<endl;
    }
  }
  return 0;

}

种类并查集

一般的并查集维护的是具有连通性的一组关系，而对于一个具有多种关系（相斥或相互独立），我们需要使用种类并查集，亦称拓展域并查集

种类并查集是一种数据结构，用于解决具有多个相互关系集合的问题。它是传统并查集的扩展，能够处理集合间的不同关系，如相互排斥或相互独立的关系。

例：

该题使用贪心，可以把矛盾关系从大到小排序，将矛盾关系大的关到不同监狱中

但给出的信息是存在仇恨不能出现在同一监狱的两个人，故不能用传统并查集的思路处理

这里我们开两倍大小的并查集（拓展域），用前一半维护朋友关系，后一半维护敌人关系

假如共有4人，1是2的敌人，那我们将1和2+4合并，1+4和2合并，即1和6是敌人，5和2是敌人，又5和6是敌人关系，故1和5是朋友，5又和2是敌人，故1和2是敌人，2和1同理

故我们需要每次merge(i,j+n)与merge(i+n,j)来建立关系

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#include <bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
const int N = 2e4 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
struct node{
  int x, y, z;
}pri[100050];
// 为假想敌预留空间，开2*N
int disj[2*N];
//查
int find(int x){
  if(disj[x]!=x)disj[x]=find(disj[x]);
  return disj[x];
}
// 并
void merge(int a, int b){
  if (find(a)>find(b))disj[find(a)] = find(b);
  else disj[find(b)]=find(a);
}

void solve() {
  int n,m;
  cin >> n >> m;
  for (int i =1;i<=m;i++){
    cin >> pri[i].x >> pri[i].y >> pri[i].z;
  }
  // 按罪恶值从大到小排序
  sort(pri+1,pri+m+1, [&](const node a, const node b){return a.z>b.z;});
  for (int i = 1;i<=n*2;i++){
    disj[i]=i;
  }
  for (int i =1;i<=m;i++){
    if (find(pri[i].x)==find(pri[i].y)){ // 若敌人的敌人仍在同监狱里，那还是敌人，只能输出值
      cout <<pri[i].z;
      return ;
    }
    // 合并敌人的敌人
    merge(pri[i].x+n,pri[i].y);
    merge(pri[i].x,pri[i].y+n);
  }
  cout << 0; // 全部遍历后发现没有符合的
}
int main()
{
  ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
  int tomorin=1;
  //cin >> tomorin;
  while (tomorin--) solve();
  return 0;
}