Floating Point
二进制小数（定点表示）
对于十进制表示， 小数点左边对应的数的权值为10的正幂，右边对应的权值为10的负幂 则二进制也可以用该方式表示，即小数点左边的位的权是2的正幂，右边的位的权是2的负幂，用公式表示为\(b=\displaystyle\sum^{m}_{i=-n} 2^i\times b_i\) 从公式中容易看出，二进制小数点左移一位相当于这个数被2除，右移一位相当于将这个数乘2 形如0.11…11的二进制小数表示刚好小于1的数，可以用1.0-\(\epsilon\)来表示这种值 考虑有限长度的编码，二进制表示法只能表示那些能被写成\(x\times 2^y\)的数，其他值只能近似表示
如\(\frac{1}{10}\)的二进制表示为0.0001100110011[0011]…
简单换算方法：将一个数表示为形似\(\frac{x}{2^k}\)的分数形式，将x用二进制表示，然后将小数点插入从右算起的第k个位置
浮点表示法
浮点表示法通过移动二进制小数点来表示尽可能大的范围，同时兼顾精度
IEEE浮点标准使用\(V=(-1)^s\times M\times 2^E\)的形式来表示一个数 - 符号：s决定是负数(s=1)还是正数(s=0)，数值0的符号位解释作为特殊情况处理
尾数：M是一个二进制小数，范围为1至2-\(\epsilon\)或0至1-\(\epsilon\)
阶码：E的作用是对浮点数加权，权为2的E次幂，用于扩大或缩小尾数值 将浮点数的位表示划分为三个字段，分别编码：
一个单独的符号位s直接编码s
k位的阶码字段exp编码阶码E
n位小数字段frac编码尾数M，编码出来的值也依赖于阶码字段的值是否为0 单精度浮点下，k=8位，n=23位，得到一个32位表示 双精度浮点下，k=11位，n=52位，得到一个64位表示
给定位表示，根据exp的值，被编码的值可以分为三种不同的情况： ### 规格化的值 当exp的位模式既不全为0,也不全为1（单精度为255，双精度为2047）,都属于这种情况，这种情况下：
阶码字段被解释为以偏置形式表示的有符号整数，值为\(E=e-Bias\)，其中e为无符号数，\(Bias=2^{k-1}-1\)（单精度下为127，双精度下为1023），这样将有符号的指数位全迁移到了正区间，方便大小比较
小数字段被解释为描述小数值\(f(0\leq f<1)\)，二进制小数点在最高有效位的左边，尾数定义为\(M=1+f\)，也称隐含的以1开头的表示，因此可以把M看作一个二进制表示为\(1.f_{n-1}f_{n-2}\cdots f_0\)的数字
- 当frac全为0时，有最小值M=1.0
- 当frac全为1时，有最大值M=2.0-\(\epsilon\)
非规格化的值
当阶码域全为0时，表示的数是非规格化形式，这种情况下，阶码值为\(E=1-Bias\)，尾数的值是\(M=f\)，即小数字段的值，不包含隐含的开头的1
非规格化的值有两个用途：
用来表示数值0，因为规格化值要求下\(M\geq1\)，不能表示0
但是对于+0.0，它的位模式为全0，而-0.0的符号位是1，其余位全为0，因此在某些方面，这两个书被认为是不同的，而在其他方面是相同的
用于表示那些非常接近于0.0的数，它们提供了一种属性称为逐渐下溢，可能的数值分布均匀地接近于0.0
特殊值
当阶码全为1，小数域全为0时，得到的值表示无穷，\(s=0\)时是\(+\infin\)，\(s=1\)时是\(-\infin\)，当我们把两个非常大的数相乘或除以0时，使用无穷来表示溢出的结果。
当阶码全为1，小数域为非0时，结果值表示NaN（Not a Number），一些运算的结果不能是实数或无穷时，或表示未初始化的数据时可以使用
重要浮点数的表示
+0.0总有一个全为0的位表示
最小的正非规格化值的位表示是由最低有效位为1而其他所有位为0构成的，其\(M=f=2^{-n}\)，\(E=-2^{k-1}+2\)，故数字值为\(V=2^{-n-2^{k-1}+2}\)
最大的非规格化值的为模式是由全为0的阶码字段和全为1的小数字段组成的，其\(M=f=1-2^{-n}\)（写作\(1-\epsilon\)），\(E=-2^{k-1}+2\)，故数字值为\(V=(1-2^{-n})\times2^{-2^{k-1}+2}\)，比最小规格化数小一点点
最小的正规格化值的位模式阶码字段的最低有效位为1，其他位全为0，其\(M=1\)，\(E=-2^{k-1}+2\)，因此数值\(V=2^{-2^{k-1}+2}\)
值1.0的位表示解码字段除了最高有效位为0外，所有其他都等于1，其\(M=1\), \(E=0\)
最大的规格化值的位表示的符号位为0，阶码最低有效位为0，其他位为1。 其\(f=1-2^{-n}\)，\(M=2-2^{-n}\)（写作\(2-\epsilon\)），\(E=2^{k-1}-1\)，因此数值\(V=(1-2^{-n-1})\times 2^{2^{k-1}}\)
整数值转换浮点形式
例：12345具有二进制表示[11000000111001]，将二进制小数点左移13位，得到规格化表示\(12345=1.1000000111001_2\times 2^{13}\)，为了使用IEEE单精度表示，丢弃开头的1并在末尾增加10个0来构造小数字段，得到二进制[10000001110010000000000]，构造阶码字段，用13加偏置值127，得到140[10001100]，加上符号位0，得到二进制浮点表示[01000110010000001110010000000000]
再对12345和12345.0进行比较
发现相关区域对于整数的地位，正好在最高有效位1前停下，和浮点表示小数部分的高位相匹配，其中这个最高有效位1就是隐含的开头的位1
舍入
由于表示方法限制了浮点数的范围与精度，所以浮点数只能近似地表示实数运算，因此舍入可以找到一个值x最接近的匹配值x’
IEEE浮点格式定义了四种不同的舍入方式，默认的方法是找到最接近的匹配，而其他三种可以用于计算上下界
其中向偶数舍入（向最接近的值舍入）是默认的方式，试图找到一个最接近的匹配值，采用的方法为：将数字向上或向下舍入，使得结果的最低有效数字是偶数，如1.5和2.5都被舍入为2
具体的，若一个小数要精确的位数后面类似于xxx5000…（后面全是0），此时要看前一位是奇还是偶，向偶数舍入。而若后面的大于5则向上舍入，小于5则向下舍入，如：
- 7.894999：小于.xx5000，向下舍入为7.89
- 7.895001：大于.xx5000，向上舍入为7.90
- 7.895000：等于.xx5000，向偶数舍入为7.90
- 7.885000：等于.xx5000，向偶数舍入为7.88
也可以用于二进制小数，将最低有效位的值0认为是偶数，1认为是奇数，一般来说，只有对形如XX…X. YY…Y100…的二进制位模式的数（即舍弃的那位为1，后面都为0），这种舍入方式才有效，其中X与Y表示任意位值，最右边的Y是要被舍入的位置。而大于100…向上舍入，小于100…向下舍入，如（舍入有效位4位）：
- 10.00011：小于xx100，向下舍入为10.00=2
- 10.00110：大于xx100，向上舍入为10.01=2.25
- 10.11100：等于xx100，向偶数舍入为11.000=3
- 10.10100：等于xx100，向偶数舍入为10.10=2.5
其他三种方式：向零舍入、向下舍入、向上舍入产生实际值的确界
- 向零舍入把正数向下舍入，把负数向上舍入，得到\(|\hat{x}|\leq|x|\)
- 向下舍入把正数和负数都向下舍入，得到\(x^-\leq x\)
- 向上舍入把正数和负数都向上舍入，得到\(x^+\geq x\)
浮点运算
IEEE标准指定了一个简单的规则，将浮点数x与y看作实数，某个运算\(\odot\)定义为\(Round(x\odot y)\)，即对实际运算的精确结果进行舍入后的结果
当参数中有一个是特殊值（-0，\(-\infin\)或NaN）时，IEEE标准定义了一些更合理的规则，如\(\frac{1}{0}=-\infin\)，\(\frac{1}{+0}=+\infin\)
运算性质
实数的加法也形成了阿贝尔群，但必须考虑舍入的影响，将\(x+^fy\)定义为\(Round(x+y)\)这个运算是可交换的，但不可结合。作为阿贝尔群，大多值在浮点加法下都有逆元，即\(x+^f-x=0\)，无穷和NaN例外
另一方面，浮点加法满足了单调性属性：若\(a\geq b\)，那么对于任何a、b以及x的值，除了NaN，都有\(x+a\geq x+b\)
对于浮点乘法，同样可交换但不能结合，对于任何a、b和c都不为NaN，满足单调性：
- \(a\geq b且c\geq0 \Rightarrow a\times^fc\geq b\times^fc\)
- \(a\geq b且c\leq0 \Rightarrow a\times^fc\leq b\times^fc\)
- 并且保证只要\(a\neq NaN\)，就有\(a\times^fa\geq0\)
比较运算
对于浮点数间的比较，除了NaN，其余浮点数间都可以互相比较，包括inf（将其视为无符号）
- 首先比较符号位
- \(-0=0\)
- NaN大于其余任何值
- 其余均可以比较，包括规格、非规格、无穷大
乘法
\(V_1=(-1)^{s_1}\times M_1\times 2^{E_1}\)与\(V_2=(-1)^{s_2}\times M_2\times 2^{E_2}\)相乘，得到的结果\(V=(-1)^{s}\times M\times 2^{E}\)
- \(s=s_1\oplus s_2\)
- \(M=M_1\times M_2\)
- \(E=E_1+E_2\)
修正：
- 若\(M\geq2\)，右移M到范围内，增加E
- 若E超出范围，则溢出
- 舍入M至让frac能准确表示
加法
\(V_1=(-1)^{s_1}\times M_1\times 2^{E_1}\)与\(V_2=(-1)^{s_2}\times M_2\times 2^{E_2}\)相加，得到的结果\(V=(-1)^{s}\times M\times 2^{E}\)（假设\(E_1>E_2\)）
- 将二进制小数点对齐
- s与M均为直接相加
- \(E=E_1\)
修正：
- 若\(M\geq2\)，右移M到范围内，增加E
- 若\(M<1\)，左移k位M，减小k的E
- 若E超出范围，则溢出
- 舍入M至让frac能准确表示
C语言中的浮点数
C语言提供了单精度浮点float与双精度浮点double，使用向偶数舍入
但C语言标准不要求机器使用IEEE浮点，故没有标准方法改变摄入方式或得到特殊值
当在int，float与double间进行强制类型转换时，程序改变数值和位模式的原则如下：
- 从int转为float：不会溢出，可能被舍入
- 从int或float转换成double：能保留精确数值
- 从double转换成float：值可能溢出或舍入
- 从float或double转换成int：向零舍入，可能会溢出