Lec13 - Asymptotics II
大\(\Theta\)
对于一个表达运行时间的式子\(R(N)\in \Theta(f(N))\)
意味着存在两个整数\(k_1\)与\(k_2\)使得\(k_1\cdot f(N)\leq R(N)\leq k_2 \cdot f(N)\)
对于所有\(N\geq N_0\)
常用该表示法描述函数的增长顺序与运行时长的增长率
大O
\(R(N)\in O(f(N))\)
意味着存在整数与\(k_2\)使得\(R(N)\leq k_2 \cdot f(N)\)
对于所有\(N\geq N_0\)
即大O表示仅被上界约束，描述小于等于\(f(N)\)
大\(\Omega\)
\(R(N)\in \Omega(f(N))\)
意味着存在两个整数\(k_1\)与\(k_2\)使得\(k_1\cdot f(N)\leq R(N)\)
对于所有\(N\geq N_0\)
常用该表示法描述函数的增长顺序与
即大\(\Omega\)表示仅被下界约束，描述大于等于\(f(N)\)
关系证明
证明若\(f(x)\in O(g(x))\)且\(f(x)\in \Omega(g(x))\)，则\(f(x)\in \Theta(g(x))\)
另一种表示形式
将\(g(x)\)除到\(f(x)\)下面，有\(a\leq \frac{f(x)}{g(x)}\leq b\)
若\(\frac{f(x)}{g(x)}\)有上界，则\(f(x)\in O(g(x))\)
若\(\frac{f(x)}{g(x)}\)有下界，则\(f(x)\in \Omega(g(x))\)
若\(\frac{f(x)}{g(x)}\)有界，则\(f(x)\in \Theta(g(x))\)